Topoi: los fundamentos topológicos de las matemáticas

Mientras que 'Topoi' se centra en los topos como un tipo específico de categoría, este libro ofrece una visión más amplia y fundamental de la teoría de categorías en general. La conexión es 'nonobvious' porque Goldblatt asume cierta familiaridad con las categorías, y este texto, aunque básico, prepara el terreno de una manera que muchas otras introducciones a los topos no lo hacen, mostrando dónde encaja el concepto dentro de un marco más general y menos especializado.

La génesis de los topos, tal como los aborda Goldblatt, está profundamente ligada a la búsqueda de nuevos modelos para la teoría de conjuntos y a la comprensión de las implicaciones de los axiomas. Cohen resolvió problemas fundamentales que influenciaron la dirección de la lógica y la teoría de conjuntos, mostrando la flexibilidad y necesidad de modelos alternativos que los topos buscan proveer. La conexión es inesperada porque el enfoque de Cohen es más directo a la teoría de conjuntos axiomática, mientras que Goldblatt utiliza los topos como una estructura generalizadora.

Goldblatt examina los topos como marcos donde las matemáticas pueden ser reconstruidas con una lógica interna no clásica (intuicionista). Kleene, aunque principalmente cubre lógica clásica, sienta las bases formales y conceptuales que son esenciales para apreciar la sofisticación de las lógicas alternativas exploradas en los topos. La similitud filosófica radica en la profunda reflexión sobre los fundamentos del razonamiento matemático.

Mientras Goldblatt se enfoca en topos, Riehl ofrece una visión profunda de cómo la teoría de categorías en su conjunto provee un marco conceptual unificador para un vasto espectro de matemáticas. La conexión profunda es que ambos autores exploran cómo nuevas estructuras matemáticas (sean topos o categorías en general) pueden reconfigurar nuestra comprensión de los 'fundamentos' de las matemáticas y la naturaleza de las estructuras lógicas implícitas.

Los topos son conocidos por proveer modelos para la lógica intuicionista, y Goldblatt discute extensamente esta conexión. Brouwer es el padre del intuicionismo, y leer sus trabajos originales ofrece una perspectiva fundamental y menos divulgada sobre las motivaciones y la filosofía detrás de esta forma de lógica subyacente a los topos. Su obra es canónica pero no tan directamente abordada en los textos modernos sobre topos, convirtiéndola en una 'obscure' joya para entender el contexto.

Goldblatt se basa en gran medida en los trabajos de Lawvere y Tierney para su exposición de los topos. Sin embargo, los artículos originales de Lawvere, aunque fundamentales, no son tan ampliamente leídos como el libro de Goldblatt o los de Mac Lane. Incluir a Lawvere directamente provee una profundización 'obscura' en la fuente primaria de muchas de las ideas que Goldblatt desarrolla, permitiendo al lector ir más allá de la interpretación secundaria.

El libro de Goldblatt utiliza la teoría de topos como un marco unificador para los fundamentos de las matemáticas, de una manera similar a cómo Bourbaki buscó construir las matemáticas desde la teoría de conjuntos. La conexión estructural es que ambos textos comparten un enfoque de 'abajo hacia arriba' para describir y unificar vastas áreas de las matemáticas, utilizando un lenguaje formal y abstracto para revelar las estructuras subyacentes. Ambos son ambiciosos en su alcance fundacional.

Goldblatt, al explorar los topos, utiliza una presentación axiomática y definiciones formales rigurosas, en un estilo deductivo. Mendelson sigue una estructura similar, introduciendo conceptos lógicos de manera progresiva y formal, construyendo sobre definiciones y teoremas. Ambos libros comparten una 'estructura' pedagógica y de exposición que es altamente formal, sistemática y precisa, crucial para la comprensión de conceptos abstractos en lógica y fundamentos matemáticos.